Tam sayilar
TAM SAYILARTanım: 9 Î N, 7 Î N için 9 - 7 = 2 Î N'dir. Fakat 7 - 9 = x x Ï N. Bu yüzden Doğal Sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Çıkarma İşleminde kapalılık özelliği olmadığı için de Doğal Sayılar birçok problemin çözümünde yetersizdir. Problemleri daha kolay çözebilmek amacıyla Doğal Sayıları da kapsayan, çıkarma işlemine göre kapalı olan ve toplama işlemine göre bir elemanın tersi bulunan daha geniş bir sayı kümesi tanımlanır. Bu küme Tam Sayılar olarak adlandırılır ve 'Z' ile gösterilir. Sayı doğrusunda ise;
Pozitif Tam Sayılar
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Negatif Tam Sayılar
şeklinde gösterilir.
Tam Sayılar Kümesi = Z = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}
Pozitif Tam Sayılar Kümesi = Z+ = {1,2,…,n,…}
Negatif Tam Sayılar Kümesi = Z- = {…,n…,-2,-1}
1.{0} ne negatif ne de pozitif tam sayıdır.
Z = Z- È {0} È Z+ 'dır.
Tam Sayılar Kümesi'nde İşlemler:
Toplama İşlemi'nin özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
" a,b Î Z için a + b Î Z'dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Toplama İşlemi'ne göre kapalıdır.
Örn: (-6) + (+4) = (-2) Î Z
(+9) + (-3) = (+6) Î Z
b) Birleşme Özelliği:
" a,b,c Î Z için a + (b + c) = (a + b) + c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi'nin birleşme özelliği vardır.
Örn: [(-7)+ (+5)] + (-4) = (-7) + [(+5) + (-4)]
(-2) + (-4) = (-7) + (+1)
(-6) = (-6)
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
" a Î Z için a + 0 = 0 + a olduğundan "0" Tam Sayılar kümesi'nde Toplama İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanıdır.
Örn: (+8) + 0 = 8 = 0 + (+8)
(-4) + 0 = (-4) = 0 + (-4)
d) Ters Eleman Özelliği:
" a Î Z için a + (-a) = 0 = (-a) + a olduğundan a'nın Tam Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi'ne göre tersi a'dır ve her elemanın tersi vardır.
Örn: (+3) + 8-3) = 0 = (-3) + (+3)
e) Değişme Özelliği:
" a Î Z için a + b = b + a olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi'nin değişme özelliği vardır.
Örn: (-9) + (+3) = (+3) + (-9)
(-6) = (-6)
Bu beş özellik sağlandığı için (Z, +) sistemi Değişmeli Grup'tur.
Çıkarma İşlemi'nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
" a,b Î Z için a - b Î Z' dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi'ne göre kapalıdır.
Örn: (-17) – (+9) = (-26) Î Z
b) Birleşme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin birleşme özelliği yoktur.
Örn: [(-13) – (+9)] - (-7) ¹ (-13) - [(+9) - (-7)]
(-22) - (-7) ¹ (-13) - (+16)
(-15) ¹ (-29)
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
Tam Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.
d) Ters Eleman Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.
e) Değişme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin değişme özelliği yoktur.
Örn: 23 – (-14) ¹ (-14) – 23
37 ¹ (-37)
Çarpma İşlemi'nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
" a,b Î Z için a . b Î Z' dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi'ne göre kapalıdır.
Örn: 4 . 5 = 20 Q
b) B-)Birleşme Özelliği:
" a,b,c Î Z için a . (b . c) = (a . b) . c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin birleşme özelliği vardır.
Örn: [5. (-3)] . 7 = 5 . [(-3) . 7]
(-15) . 7 = 5 . (-21)
-105 = -105
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
" a Î Z için a . 1 = 1 . a olduğundan "1" Tam Sayılar kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanıdır.
Örn: -7 . 1 = -7 = 1 . -7
6 . 1 = 6 = 1. 6
d) Ters Eleman Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin ters eleman özelliği yoktur.
Örn: 4 . x = 1 = x . 4
x Ï Z
e) Değişme Özelliği:
" a Î Z için a . b = b . a'dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin değişme özelliği vardır.
Örn: -2 . 5 = 5 . -2
-10 = -10
f) Çarpma İşlemi'nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:
" a,b,c Î Z için (a . b) . c = a . (b . c) olduğu için Tam Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.
Örn: (6 . 4) . 8 = 6 . (4 .
24 . 8 = 6 . 32
192 = 192
Bölme İşlemi'nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi'nin kapalılık özelliği yoktur.
Örn: 8 : 4 = 2 Î Z
4 : 8 = x Ï Z
b) Birleşme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi'nin birleşme özelliği yoktur.
Örn: (60 : 10) : 5 ¹ 60 : (10 : 5)
6 : 5 ¹ 60 : 2
6 : 5 ¹ 30
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi'nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.
d) Ters Eleman Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi'nde Bölme İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.
e) Değişme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi'nin değişme özelliği yoktur.
Örn: 25 : 5 ¹ 5 : 25
5 ¹ 5 : 25
İşlem Sırası:
Bir problemin çözümünde işlem yaparken izlenmesi gereken sıra;
1) Parantez İçleri
2) Kuvvet Alma
3) Hangisi önce geliyorsa bölme ya da çarpma
4) Hangisi önce geliyorsa toplama ya da çıkarma
Örn: (15 : 5 - 7) . (-7 . 3 + 9) + 12 = ?
= ( 3 – 7) . (-21 + 9) + 12
= -4 . -12 + 12
= -48 + 12
= -36
Tek ve Çift Sayılar:
a Ù b Î Z için;
1) İki çift sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. "Ç ± Ç = Ç"
2) İki tek sayının toplamı ya da farkı bir çift sayıdır. "T ± T = Ç"
3) Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı ya da farkı tek sayıdır. "T ± Ç = T"
4) İki tek sayının çarpımı tek sayıdır. "T .T =T"
5) İki çift sayının çarpımı çift sayıdır "Ç .Ç = Ç"
6) Bir tek sayı ile bir çift sayının çarpımı çift sayıdır. "Ç .T = Ç"
RASYONEL SAYILAR
Tanım: a, b Î Z ve b ¹ 0 olmak üzere; ifadesine kesir ya da Rasyonel Sayı denir. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir. ifadesinde a' ya kesrin payı b' ye de kesrin paydası denir.
Örn: , , gibi sayılar rasyonel sayıdır.
· b ¹ 0 için 'dır.
· b ¹ 0 için tanımsızdır.
· belirsizdir.
Pozitif Tam Sayılar
-2 -1 0 1 2
0
Negatif Tam Sayılar
Kesir Çeşitleri:
Basit Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesire basit kesir denir.
basit kesir
Örn: gibi kesirler basit kesirlerdir.
Bileşik Kesir:
Payı paydasından mutlak değerce büyük ya da payı paydasına mutlak değerce eşit olan kesire bileşik kesir denir.
bileşik kesir
Örn: gibi kesirler bileşik kesirlerdir.
Tam Sayılı Kesir:
Önünde tamsayı olan kesire tamsayılı kesir denir.
Örn: gibi kesirler tamsayılı kesirlerdir.
·
Rasyonel Sayılarda Genişletme ve Sadeleştirme:
kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tamsayısı ile çarpılabilir veya bölünebilir. Bu işlem kesrin değerini değiştirmez ve kesre yapılan bu işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir.
olmak üzere, 'ye 'nin genişletilmesi, rasyonel sayısından işlemi ile rasyonel sayısının elde edilmesine de ' nin sadeleştirilmesi denir.
Örn: rasyonel sayısını 3 ile genişletiniz.
Örn: rasyonel sayısını en sade biçimiyle gösteriniz.
Denk Kesirler:
kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi ile ' ye eşit kesirler elde edilir. Bu kesirlere 'ye denk kesirler denir. Denklik " " işaretiyle gösterilir.
Örn:
Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Dört İşlem:
Toplama – Çıkarma:
a) Paydalar eşit ise ;
için olur.
Örn:
Örn:
b) Paydalar farklı ise ;
için olur.
Örn:
Örn:
Çarpma:
olur.
Örn:
Bölme:
olur.
Örn:
Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Dört İşlem'in Özellikleri:
Toplama İşlemi'nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
" olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Toplama İşlemi'ne göre kapalıdır.
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
" olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi'nin birleşme özelliği vardır.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi' " olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı "0" dır.
Örn:
d) Ters Eleman Özelliği:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi'ne göre 'nin tersi 'dir.
Örn:
e) Değişme Özelliği:
" olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Toplama İşlemi'nin değişme özelliği vardır.
Örn:
Bu beş özellik sağlandığı için (Q, +) sistemi Değişmeli Grup'tur.
Çıkarma İşlemi'nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi'ne göre kapalıdır.
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
" olduğundan Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin birleşme özelliği yoktur.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
" yapan bir x sayısı olmadığı için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.
d) Ters Eleman Özelliği:
Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters elemanı da yoktur.
e) Değişme Özelliği:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çıkarma İşlemi'nin değişme özelliği yoktur.
Örn:
Çarpma İşlemi'nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
" olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi'ne göre kapalıdır.
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin Birleşme Özelliği vardır.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
" olduğundan Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı 1'dir.
Örn:
d) Ters Eleman Özelliği:
" Ù olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'ne göre 'nin tersi 'dır. Fakat x Î R olmak üzere 0 . x = 0 olduğundan yapan bir sayısı yoktur. Bunun için 0'ın Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemine göre tersi yoktur.
e) Değişme Özelliği:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin değişme özelliği vardır.
Örn:
f) Çarpma İşlemi'nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Çarpma İşlemi'nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.
Örn:
Bölme İşlemi'nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
" olur. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi Bölme İşlemi'ne göre kapalıdır.
Örn:
b) Birleşme Özelliği:
" olduğu için Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Bölme İşlemi'nin Birleşme Özelliği yoktur.
Örn:
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi'nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.
d) Ters Eleman Özelliği:
Rasyonel Sayılar Kümesi'nde Bölme İşlemi'nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.
e) Değişme Özelliği:
Rasyonel Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi'nin değişme özelliği yoktur.
Örn:
Rasyonel Sayılarda Sıralama:
için
olur.
Örn: a-) b-) c-)
a) olduğu için
b) olduğu için
c) olduğu için
Ayrıca Rasyonel Sayılar arasında sıralama yaparken verilen sayılar uygun sayılarla genişletilir ve paydaları pozitif olarak eşitlenir. Bu durumda payı büyük olan kesrin değeri, payı küçük olan kesrin değerinden büyüktür.
Örn: a-) b-) c-) sayılarını sıralayınız.
olur.
Ayrıca payı ve paydası arasındaki farkı aynı olan pozitif basit ve pozitif bileşik kesirlerden paydası büyük olan 1'e daha yakındır.
Örn: a-) b-) c-) sayılarını 1'e yakınlık bakımından sıralayınız.
- Verilen sayıların payları ile paydaları arasındaki fark 2'dir. Bu yüzden 1'e yakınlık sıraları:
olur.
Örn: a-) b-) c-) sayılarını 1'e yakınlık bakımından sıralayınız.
- Verilen sayıların payları ile paydaları arasındaki fark 3'tür. Bu yüzden 1'e yakınlık sıraları:
olur.
Rasyonel Sayıların Yoğunluğu:
ifadesinde 'dur ve en az bir tanedir. Bu yüzden Rasyonel Sayılar Kümesi yoğundur.
Örn: arasında bir rasyonel sayı bulunuz.
=
=
Örn: arasında 2 tane rasyonel sayı bulunuz.
=
=
=
=
Ondalık Sayılar:
olmak üzere;
… gibi yazılabilen kesirlere ondalık kesir denir.
Örn:
a,bc ondalık sayısında a'ya tam kısım , bc'ye de ondalık kısım denir.
Örn: rasyonel sayısını ondalık biçimde gösteriniz.
Devirli Ondalık Sayılar:
Ondalık sayı şeklinde yazılan bir rasyonel sayıda ondalık kısımdaki rakamlar belirli bir biçimde tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık sayı denir.
Örn:
Devirli Ondalık Sayılar'ın Rasyonel biçimde Yazılması:
Bir devirli ondalık sayıyı rasyonel biçimde yazmak için;
işlemi yapılır.
a,b,c,d birer rakam olsun:
olur.
Örn:
Tam Sayılar ve Rasyonel Sayılarla ilgili Karma Alıştırmalar:
1) işleminin sonucu kaçtır? (1999-ÖSS)
Cevap:
2) olduğuna göre, a . b = ? (1999-ÖSS)
Cevap:
3) (2000-ÖSS)
Cevap:
4) Üç basamaklı en büyük pozitif çift tamsayı ile üç basamaklı en büyük negatif tek tamsayının toplamı kaçtır? (1994-ÖSS)
Cevap: 998 + (-101) = 897
5) Bir sayının 'inin 3 fazlası, aynı sayıya eşittir. Bu sayı kaçtır?
Cevap: Sayı x olsun:
6) sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralanışı nasıldır?(1990-ÖSS)
Cevap: c, bileşik kesir olduğu için en büyüktür.
Sıralama: şeklinde olur.
7) ise, 'nin değeri kaçtır? (1983-ÖSS)
Cevap:
olur.
a,b,c pozitif tam sayılar olduğuna göre işleminin en küçük değeri kaçtır? (1999-ÖSS)Cevap:
olur.
olabilir.
olabilir.
olabilir ve en küçüktür.