Istatistik
SEVGİLİ ÖĞRENCİLERİM BU SAYFADİ BİLGİLER 6. SINIF BİLGİLERİ DEĞİLDİR!!!1 BERNOULLI DAĞILIMI
Aynı koşullar altında tekrarlanan bir rassal deney veya gözlem sonuçları olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, geçerli-geçersiz gibi yalnız iki şekilde ele alınsın. Bu tür deneylere Bernoulli deneyi denir. Bu isim (1654-1705) Bernoulli’den sonra verilmiştir.
Bernoulli Dağılımının Tanımı: x rasgele değişkeni için iki olanak varsa (olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, ... vb.) x’e Bernoulli değişkeni denir.
x rassal değişkeni, bir deneyin sonucu olumlu ise “1” değil ise “0” şeklinde tanımlandığında, bir deneyin başarılı sonuçlanma olasılığı p iken, x’in olasılık fonksiyonu;
Bu fonksiyona “Bernoulli dağılımı” ve x’e Bernoulli dağılmış bir rassal değişken denir. Dağılımın “p” ile gösterilen tek parametresi vardır.
Aşağıdaki deneyler Bernoulli rassal değişkenleri ile ilgilidir.
1 Paranın atılması.
2 İçinde M siyah, N beyaz top bulunan bir kavanozdan top çekilmesi.
3 Kusurlu ve kusursuz parçaların bulunduğu bir kutudan bir parçanın çekilmesi.
1.1)BERNOULLI DAĞILIMININ OLASILIK FONKSİYONU
P(x=1)=p
P(x=0)=1-p=q veya f(x)=P(X=x)=px.(1-p)1-x, x=0,1
1.2)BERNOULLI DAĞILIMININ OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONU OLDUĞUNUN İSPATI
Bernoulli dağılımı kesikli bir dağılımdır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için;
1 x R için f(x)>0
2 f(x)=1
Üstteki koşulları sağlamalıdır.
1 x R için f(x)>0
P(x=0)=p
P(x=1)=1-p=q
2 f(x)= =p0.(1-p)1-0 +p1.(1-p)1-1
=q+p
=1’dir.
Bernoulli dağılımı bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
1.3) BERNOULLI DAĞILIMININ MOMENT ÇIKARTAN FONKSİYONU
Mx(t) =
Mx(t) = (1-p)+ pet
4 BERNOULLI DAĞILIMININ SIFIR ETRAFINDAKİ MOMENTLERİ
Mx(t) = (1-p)+ pet
(sıfır etrafındaki birinci momenti)
(sıfır etrafındaki ikinci momenti)
(sıfır etrafındaki üçüncü momenti)
(sıfır etrafındaki dördüncü momenti)
1.5) BERNOULLI DAĞILIMININ ARİTMETİK ORTALAMA ETRAFINDAKİ MOMENTLERİ
• Aritmetik ortalama etrafındaki birinci moment
• Aritmetik ortalama etrafındaki ikinci moment
• Aritmetik ortalama etrafındaki üçüncü moment
• Aritmetik ortalama etrafındaki dördüncü moment
=0
=pet.(1-pet)
= pet.(2pet-1)(1-pet)
=pet.(1-4pet + 6p2e2t - 3p3e3t)
Bernoulli dağılımının ve
6 BERNOULLİ DAĞILIMININ BEKLENEN DEĞERİ VE VARYANSI
E(x) = p
Var(x) = E(x2) - [E(x)]2 = p(1-p)
ÖRNEK: Bir rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
P(x)= x=0,1
şeklinde verilmiştir. Bu değişkenin aritmetik ortalama, varyans ve sıfır etrafındaki üçüncü momenti bulunuz.
ÇÖZÜM: P=3/7
M=E(x)=p=3/7
Var(x)=p(1-p)= =
E(x3)=
=pet =p
2) BİNOM DAĞILIMINA GİRİŞ
Deneyimizin sonuçlarından veya basit olaylarından her birini A olayının ortaya çıkması (elverişli hal) veya çıkmaması (elverişsiz hal) şeklinde tanımlarsak, deneyi n kere tekrar ettiğimiz zaman x değişkeni ile ifade ettiğimiz toplam elverişli hal sayısı bir binom değişkenidir. Para atışı deneyinde yazı olayının ortaya çıkıp çıkmaması binom değişkenine bir örnek olarak gösterilebilir. Bu deneyde elverişli hal olarak yazı veya turanın üste gelmesi kabul edilebilir. Buna karşılık iki zarı bir arada atarak üste gelen yüzlerindeki sayıların toplamının x ile ifade ettiğimiz zaman x bir binom değişkeni değildir.
Bir kutu içinde üç ayrı renkte top bulunuyorsa (kırmızı, sarı ve siyah) bunlar arasından bir top çekersek değişkenimiz 3 şıklı olacaktır. Dolayısıyla binom değişkeni söz konusu değildir. Ancak deneyimiz çekilen topun kırmızı olup olmadığını belirtmek ise x, n defa tekrarlanmış iadeli (bağımsız) deney içinde kırmızı top sayısını göstermek üzere bir binom değişkeni haline dönüştürülebilir. Binom değişkeni ile ilgili problemlerde önemle belirtilmesi gereken nokta, tekrarlanan deneylerin her bakımdan birbirinin aynı olmaları yani ihtimallerin deneyden deneye değişmemeleri (bağımsız olmaları) gerektiğidir. Bu son nokta seçimlerin iadeli olarak yapılmalarını öngörmektedir. Yukarıdaki şartlara uyan değerler ilk olarak İsveçli matematikçi Jacob Bernoulli tarafında incelenerek ileri sürüldüğü için bu deneylere Bernoulli deneyleri denir.
BİNOM DAĞILIMI
Bir Bernoulli deneyi aynı koşullar altında n defa tekrarlandığında, karşılaşılan olumlu sonuç sayısı ile ilgilenilirse Bernoulli dağılımının özel bir genellemesi karşımıza çıkar.
1) Rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlanmıştır.
2) Her deney sonucu için olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, sağlam-kusurlu ve benzeri şekilde yalnız iki durum söz konusudur.
3) Bir deneyde olumlu sonuç elde etme olasılığı p, olumsuz sonuç elde etme olasılığı1-p=q olup, bu olasılıklar her deney için aynıdır.
4 Her deneyin biri diğerinden bağımsızdır. Yani bir deneyin sonucu diğerine bağlı değildir.
5 Yapılan n deneyde karşılaşılan olumlu sonuç sayısı ile ilgilenilmektedir. Bu özellikler sağlandığında bir bernoilli denemesinde rassal değişken;
x; n deneyde karşılaşılan olumlu sonuç sayısı olarak tanımlandığında, karşılaşılabilir olumlu sonuç 0,1,2,3, ... n olabileceğinden rassal değişkenin değer kümesi A={x|x=0,1,2,3, ... n }’dir. n bağımsız denemede başarma sayısı x; 0,1,2,3, ... n olabilir. Aşağıdaki diziyi düşünelim.
Burada S başarıyı, F başarısızlığı gösterir. Çarpım teoreminden yukarıdaki dizinin olasılığı, yani ilk n denemenin başarılı geri kalan n-x denemenin başarısız olma olasılığı; px.(1-p)n-x’dir. Denemeler bağımsız olduğundan diğer bir x “başarı” ve n-x “başarısızlık” dizisinin olasılığı da px.qn-x’dir. Bir grupta x, diğerinde n-x sonuç bulunan sonucun farklı dizilerinin sayısı ’dir. Bir defada bir olay elde edileceğinden bu olaylar ayrıktır. Bu nedenle toplama teoreminden dolayı x rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu (n denemedeki başarı sayısı)
P(x)= pxqn-x x=0,1,2, ... n
Bir rassal x değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
p(x)=
şeklinde ise P(x)’e Binom dağılımı ve x’e Binom dağılımının rassal değişkeni denir.
Binom dağılımında 0<p<1, (1-p)>0, x n ve >0 olduğuna göre;
1) x R için P(x)>0koşulunun sağlar.
Ayrıca P(A)= [p+(1-p)n]=1’dir
P(x)>0 iken, olması P(x)<1 özelliği ile mümkündür. Sonuç olarak;
1) x R için 0<P(x)<1
2)P(A)= olduğundan bir olasılık fonksiyonudur.
1 BİNOM DAĞILIMININ ORTALAMASI VE VARYANSI
Aritmetik ortalaması;
=E(x)= eşitliğinde
n!=(n-1)!.n
x!=(x-1)!.x
px=px-1.p yazılır.
=E(x)=np
Burada
1
E(x)=np
Var(x)=E(x2)- [E(x)]2
E(x(x-1))=
E(x(x-1))=
x!=(x-2)!.(x-1).x
n!=(n-2)!.(n-1).n
px=px-2.p2
E(x(x-1))=
olduğuna göre
E(x(x-1)) = n.(n-1).p2
E(x2)- E(x) = E(x2- x) = E[x(x-1)]
E(x2) = n(n-1)p2+ E(x)
E(x2) = n2p2 - np2 + np
Var(x)= E(x2)- [E(x)]2
Var(x)= n2p2 - np2 + np - n2p2
Var(x)= np.(1-p)
2.2)BİNOM DAĞILIMININ MOMENT ÇIKARTAN FONKSİYONU
Binom dağılmış bir rassal değişken için moment çıkartan fonksiyon;
Mx(t) =
etx.px = (et.p) x olup,
Mx(t) =
a = et.p, b=(1-p) iken (a+b)n olduğundan,
• Mx(t)= [pet + (1-p)]n
• = n.[pet + (1-p)]n-1 pet
• (t) = n(n-1).[pet + (1-p)]n-2 p2e2t + n[pet +(1-p)n-1].pet
(t) = (0) = n2p2 - np2 + np
3 MOMENTLERİNE GÖRE VARYANS
Var(x) = E[x2] - n2p2
Var(x)= n2p2 - np2 + np - n2p2 = np(1-p)
ORTALAMA =n.p
VARYANS Var(x)=n.p.q =
STANDART SAPMA
ÇARPIKLIĞIN MOMENT KATSAYISI
BASIKLIĞIN MOMENT KATSAYISI
2.4)SİMETRİK BİNOM DAĞILIMI
Binom dağılımındaki p ve q ihtimalleri birbirine eşit ise (para atışında olduğu gibi p= , q= ) binom dağılımı simetrik olacaktır.
ÖRNEK: Bir kutu içinde 3 siyah ve 3 sarı top vardır. Bunlar arasından iadeli olarak 3 çekiliş yaparsak her çekiliş bir bernoulli deneyi olacaktır. K ile sarı topun ortaya çıkış sayısını gösterirsek, k=0,1,2,3 olacak ve p=q=1/2 olduğundan ihtimal bölünmesi tablodaki gibi hesaplanacaktır.
k sarı top binom pk.qn-k her şıkkın ihtimali
sayısı katsayıları . pk.qn-k
0 1 (1/2)3=1/8 1/8=0.125
1 3 1/8 3/8=0.375
2 3 1/8 3/8=0.375
3 1 1/8 1/8=0.125
Aynı bölünmeyi ihtimalleri Y ekseninde ve k’ları (sarı top sayısı) X ekseninde belirtmek üzere şekildeki gibi gösterebiliriz.
Simetrik bir binom dağılımı olan yukarıdaki örnekte, deneyimiz kutu içinden 3 defa top çekmek idi. Bu deney kendi içinde 3 ayrı bernoulli deneyinden meydana gelmiştir. Eğer 3 kere çekiş yapmak deneyini 1000 kere tekrarlarsak her şıkkın tekerrür sayısı, 1000 ile çarpılarak bulunacaktır.
N(p+q)n
Bu durumda her ihtimalin 1000 ile çarpılması gerekecektir. Bu örneğin ihtimalleri 0.125; 0.375; 0.375; 0.125 olduğundan mutlak frekanslar
125+375+375+125 = 1000
olacaktır.
Öncede belirtildiği gibi binom dağılımı elverişli halin ortaya çıkış sayısını dikkate aldığından süreksiz bir dağılımdır. Fakat n sonsuza yaklaşırken, n k sürekli bir değişken halini alırsa simetrik binom normal dağılıma yaklaşacaktır.
2.5)ASİMETRİK BİNOM DAĞİLİMİ
p, q’ya eşit olmadığı hallerde p=1-q olmak üzere p veya q, 0 ile 1 arasında herhangi bir değeri temsil edebilirler. Bu durumda dağılım simetrik değil asimetrik olacaktır. Asimetrik binom dağılımının önemli tatbik sahalarından biri kalite kontrolüdür.
ÖRNEK: p ile kusurlu, q ile kusursuz mal oranını gösterirsek 0,20’si kusurlu, 0,80’i kusursuz olduğu bilinen bir ana kütleden 5 parçalık bir örnek seçtiğimiz zaman örnek içinde 0,1,2,3,4 ve 5 adet kusurlu parça bulunması ihtimallerini hesaplayalım. Hesaplar önceki örnekte olduğu gibi bir tablo halinde gösterilmiştir.
Kusurlu parça .pk.q5-k ihtimaller P(k)
sayısı k
0 .(2)0(8)5 = 0,32768
1 .(2)1(8)4 = 0,40960
2 .(2)2(8)3 = 0,20480
3 .(2)3(8)2 = 0,05120
4 .(2)4(8)1 = 0,00640
5 .(2)5(8)0 = 0,00032
1,00000
Bölünme grafik halinde gösterildiği taktirde asimetrisi daha belirgin olarak ortaya çıkmaktadır.
p ve q’nun olacakları değerlere yani ihtimallere göre binom dağılımının asimetrisi azalacak veya çoğalacaktır. Buna göre eğer p’nin değeri q’dan küçükse, p<q durumunda asimetri artacak p’nin değeri q’ya yaklaşınca dağılım simetrik bir görünüm kazanacaktır.
BİNOM DAĞILIMI VE NEGATİF BİNOM DAĞILIMI ARASINDAKİ İLİŞKİ
x, n ve p parametreleri ile binom dağılımına sahip olsun. Yani x, n Bernoulli denemesindeki başarı sayısıdır. Y, K ve p parametreleri ile negatif binom dağılımına sahip olsun. Yani Y, K başarı elde etmek için gereken Bernoulli denemelerinin sayısıdır. O halde aşağıdaki bağıntılar geçerlidir.
a)P(Y n)=P(x K)
b)P(Y>n)=P(x<K)
a)İlk n denemede K yada daha çok başarı varsa , ilk K başarıyı elde etmek için n yada daha az deneme gerekmektedir.
b)İlk n denemede K’dan az başarı varsa , K başarıyı elde etmek için n’den çok deneme gerekmektedir.
BİNOM DAĞILIMINA YAKLAŞIM OLARAK NORMAL DAĞILIM YAKLAŞIMI
DE MOIVE- LAPLACE TEOREMİ
b(x; n, p) (x=0,1,2, ..., n)
binom dağılımını göz önüne alalım. Binom dağılımının ortalama ve standart sapması;
= np ve =
olduğundan n’ nin büyük değerleri için ve np 5 olmak koşuluyla
b(x; n, p)
Yani yukarıdaki koşullar altında, binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır.
Şu halde, binom dağılımına uyan x rasgele değişkeni için n büyük ve n 5 olmak koşuluyla
= np ve = alınarak P(a x b) = yazılabilir.
Bu nedenle yukarıdaki koşullar altında, binom dağılımı için normal dağılım tabloları kullanılabilir.
UYARI: Gerçekte binom dağılımındaki x rasgele değişkeni kesiklidir. (Discrete) Bu nedenle, x rasgele değişkeni sürekliye çevrilerek işlem yapılır ve
P(a x b) = şeklinde uygulanır.
ÖRNEK: Bir tavla zarı 180 defa atılıyor ve 3 gelme sayısı x rasgele değişkeni olarak tanımlanıyor.
1 25 ile 40 defa arasında (sınırlar dahil)
2 42 defa veya daha fazla
3 27 defadan daha az
4 38 defadan fazla
3 gelme olasılıklarını hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Bu bir binom dağımıdır ve olasılıklar
b(x; n, p) = ile hesaplanır. Fakat bu hesaplamalar oldukça uzundur. Mesela (1)’ deki olasılık için
P(25 x 40) =
hesaplanmasını yapmak gerekir. Oysa n oldukça büyük ve
np = 180 5 olduğundan
= np = 180 =30 ve = =
alınırsa, bu dağılıma Normal Dağılım Yaklaşımı uygulanabilir.
1 P(25 x 40) =
= P(-1.1 Z 2.1)
Z nin bu değerine karşılık olan alanlar tablodan okunursa
0,3643+4821=0,8468
P(25 x 40) = % 85
2 P(x 42) = P
Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa
0,5000-,4893 = 0,0107
P(x 42) = % 1
3 P(x<27) =
Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa
P(x 42) = 0,5000-0,2580 % 24
4 P(x>38) =
Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa
P(x>38) = 0,5000-0,4554 % 4
ÖRNEK: Bir madeni para 15 defa atılıyor ve tura gelme sayısı x rasgele değişkeni olarak tanımlanıyor.
P(7 x 9) olasılığı
1 Binom dağılımı ile
2 Binom dağılımına normal dağılım yaklaşımı ile hesaplayınız ve sonuçları karşılaştırınız.
ÇÖZÜM: N=15(1/2)=7,5 ve
1 Binom dağılımı ile
P(7 x 9) =
P(7 x 9) = 0,1964+0,1964+0,1527=0,5455 % 55
2 P(7 x 9) = P(-0,52 x 1,03)
Z nin bu değerine karşılık olan alan tablodan okunursa
P(7 x 9) = 0,1985+0,3485 = 0,5470 % 55
Sonuçların birbirine oldukça yakın olduğu görülmektedir.
BİNOM DAĞILIMINA YAKLAŞIM OLARAK POİSSON DAĞILIMI
Binom dağılımının olasılık fonksiyonunu göz önüne alalım.
P(X=x) = f(x) = Pn(x)= x=0,1,2, ... n
kabul edelim ki n yeter derece büyük ama p küçüktür, öyle ki np büyük değildir. Pn(x) binom olasılığını yaklaşık olarak hesaplamaya çalışalım. =E(x)=np olduğunu daha önce görmüştük. O halde
P(X=x)=
yazılabilir. Kısaltmalardan sonra bu olasılık
P(X=x)=
P(X=x)=
olarak yazılır. p küçükse, n büyükse, np büyük değilse aşağıdaki yaklaşık eşitlikler elde edilir.
O halde
P(X=x) =
elde edilir. Bu son eşitlikten görüldüğü gibi Pn(x) olasılıkları
ortalamalı Poisson dağılımının olasılıklarına yaklaşık olarak eşittir.
n yeter derecede büyük (n 20) ve p 0,05 iken n denemedeki x başarı olasılığını Poisson dağılımı ile yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. Poisson formülünü kullanmak, binom formülünü kullanmaktan daha kolaydır.
n=20 ve p=0,05 olan binom dağılımını düşünelim. Binom dağılımı için =np=20.(0,05) = 1 Binom dağılımını Poisson yaklaşımı kullanılırsa
P(X=x)= =
elde edilecektir. Verilen değerler için binom ve poisson olasılıklarını karşılaştırmak üzere aşağıdaki tabloyu vereceğiz.
Başarı sayısı x Binom olasılıkları Poisson olasılıkları
0 0,358 0,368
1 0,377 0,368
2 0,189 0,184
3 0,060 0,051
4 0,013 0,015
5 0,002 0,003
6 0,000 0,001
NOT: 6’ dan çok başarı elde edilebilir, fakat başarı olasılıkları 0,0005’ den küçüktür.